Całkę oznaczoną na przedziale a, b z funkcji f, da się interpretować jako różnicę pól powierzchni figur ograniczonych prostymi x = a, x = b, wykresem funkcji f oraz osią x: części nad osią oraz pod nią.

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy oraz całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną albo całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

Całki da się sobie wyobrazić jako sumy nieskończenie wielu nieskończenie małych wartości, takich jak np. wartość funkcji pomnożona przez jej nieskończenie małą różniczkę: (co znajduje odzwierciedlenie w podejściu Riemanna, zob. dalej). Jest to bez wątpienia określenie nieścisłe oraz nieformalne, choć używane w początkach rachunku całkowego przez G. W. Leibniza. Dziś ma ono znaczenie zaledwie poglądowe oraz historyczne, a poszczególne rodzaje całek są definiowane ściśle. Są one szczegółowo opisane w oddzielnych artykułach:

• Całka oznaczona – intuicyjnie: pole powierzchni pomiędzy wykresem funkcji w pewnym przedziale , a osią odciętych, wzięte ze znakiem plus dla dodatnich wartości funkcji oraz minus dla ujemnych. Pojęcie całki oznaczonej, choć intuicyjnie proste, bywa sformalizowane na wiele sposobów. Jeśli jakaś funkcja jest całkowalna wedle dwóch wielorakich definicji całki oznaczonej, wynik całkowania będzie taki sam.
  • Całka Riemanna, całka Darboux – najprostsze (równoważne ze sobą) definicje całki oznaczonej (zobacz rysunek obok), jednak nie obejmujące wielu ważnych funkcji. Stąd powstało wiele uogólnień tych całek na szerszą klasę funkcji:
    • Całka niewłaściwa (Riemanna) – uogólnienie całki Riemanna na pewne funkcje określone na przedziałach nieskończonych oraz na pewne funkcje nieograniczone na przedziałach skończonych bądź nie.
      • Całka Riemanna-Stieltjesa – uogólnienie całki niewłaściwej, kiedy obszarem całkowania nie jest przedział, lecz zbiór wartości pewnej funkcji.
        • Całka Russo-Vallois – uogólnienie całki Riemanna-Stieltjesa.
  • Całka Daniella-Stone'a.
  • Całka Henstocka-Kurzweila (inne nazwy: całka Denjoy, całka Perrona, całka Denjoy-Perrona).
  • Całka Lebesgue'a – najczęściej stosowane uogólnienie całki Riemanna. Rozszerza klasę całkowalnych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Umożliwia także na całkowanie funkcji określonych na innych przestrzeniach mierzalnych oraz w tym sensie wykracza poza tradycyjne rozumienie całki oznaczonej. Całka Lebesgue'a ma własne uogólnienia oraz szczególne przypadki:
    • całka Lebesgue'a-Stieltjesa – odpowiednik całki Riemanna-Stieltjesa, gdzie funkcja jest całkowana tak jak w całce Lebesgue'a;
    • całka Haara – całka Lebesgue'a dla funkcji mierzalnych względem miary Haara, określonej na σ-ciele zbiorów borelowskich lokalnie zwartej grupy topologicznej.
  • Całkowanie w przestrzeniach funkcyjnych.
    • Całka względem miary wektorowej – całka z funkcji skalarnej względem miary wektorowej.
    • Rodzaje całek z funkcji o wartościach wektorowych (np. w przestrzeniach Banacha bądź szerszej klasie przestrzeni):
      • całka Pettisa, całka Gelfanda;
      • całka Dunforda;
      • całka McShane'a;
      • całka Bochnera.
    • Całka Bartle'a – całka z funkcji o wartościach wektorowych względem miar wektorowych.

• Całka nieoznaczona (albo funkcja pierwotna) – pojęcie odwrotne do pochodnej funkcji (zob. podstawowe twierdzenie rachunku całkowego). Całkę oznaczoną na przedziale da się też zdefiniować (tzw. całka Newtona-Leibniza) jako różnicę pomiędzy wartościami całki nieoznaczonej w punktach oraz . Stąd obliczenie całki nieoznaczonej jest wielokrotnie pierwszym krokiem przy obliczaniu całek oznaczonych.
  • Całka równania różniczkowego – rozwiązanie równania różniczkowego. Jest to uogólnienie całki nieoznaczonej, która także jest rozwiązaniem równania różniczkowego

    

  gdzie jest pierwotną, a oznacza całkowaną funkcję.

• Całka krzywoliniowa – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna krzywa.
• Całka powierzchniowa – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna powierzchnia, np. pewne koło, albo połowa sfery. Całka krzywoliniowa oraz całka powierzchniowa to szczególne przypadki całki na hiperpowierzchni. W nowoczesnej teorii całkowania, traktuje się je jako całki Lebesgue'a względem pewnych niezmienniczych miar, określonych na σ-ciałach związanych z daną hiperpowierzchnią.
• Całka podwójna – potocznie: całka z całki (z parametrem). Analogicznie całka potrójna, oraz ogólnie wielokrotna. Obecnie, całki -krotne traktuje się jako całki Lebesgue'a względem -wymiarowej miary Lebesgue'a.

• Całka stochastyczna – specjalny odmiana całki używany w rachunku prawdopodobieństwa. Ma parę wersji:
  • całka Paleya-Wienera (całka Paleya-Wienera-Zygmunda);
  • całka Itō – najpowszechniej używana całka stochastyczna;
  • całka Stratonowicza – najczęstsza alternatywa dla całki Itō, czasem wygodniejsza.

Pewne przypadki całek oznaczonych oraz nieoznaczonych dla pewnych szczególnych funkcji posiadają własne nazwy:

• całki eliptyczne;
• całka abelowa;
• całka Duhamela (pochodna splotu funkcji);
• całka Fresnela;
• całka Poissona;
• całka wymiany;
• całka J.

Operacja wyznaczania całki (całkowanie) nie jest łatwa. Całki poniektórych funkcji nie istnieją, a poniektórych innych funkcji nie dają się zapisać za pomocą standardowych funkcji matematycznych. Wielokrotnie całkowanie jest twórczym procesem nie opierającym się na żadnym ścisłym algorytmie. Co prawda, algorytm Rischa dopuszcza dla każdej funkcji elementarnej sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną oraz jeśli tak, znaleźć ją. Ale ten algorytm jest bardzo długi oraz skomplikowany, a dlatego sporadycznie stosowany; ponadto nie zawiera w sobie on całek wyrażonych przez funkcje specjalne.

Zwykle w praktycznych problemach całkuje się numerycznie albo próbuje się sprowadzić całkę (m.in. za pomocą tzw. całkowania przez podstawienie, całkowania przez części, przekształceń algebraicznych, albo trygonometrycznych) do znanych całek, których szuka się w tablicach.

Przykłady zapisu

– całka nieoznaczona

– całka oznaczona

– całka niewłaściwa

– całka Lebesgue'a

– całka powierzchniowa

– całka krzywoliniowa po krzywej zamkniętej

Symbol całki

Symbol całki ∫ powstał jako wydłużona litera ſ ("długie s") albo mała litera esz. Gottfried Wilhelm von Leibniz oparł symbol całki na łacińskim słowie summa (suma), które pisał ſumma.

Sprawdź też

Sprawdź w Wikiźródłach tablicę całek

Sprawdź hasło całka w Wikisłowniku

• metody Newtona-Cotesa
• podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
• rachunek różniczkowy oraz całkowy

Linki zewnętrzne

• nullintegrals.wolfram.com/index.jsp – skrypt obliczający całki nieoznaczone