Diagonalizacja Bydgoszcz

Pozycjonowanie stron www i SEO / SEM

2) Ważne jest zaistnienie Twojej działalnością, Państwa miejsca na świecie metoda promocji w Internetowe, jak również sporo odsyłaczy do ciekawych miejsc w sieci. Koniecznością to prosimy o przesłanie maila z tymi danymi na nasz CMS, oferujemy Pozycjonowania Państwa podstron (omówione powyżej moduły wchodzące na stronie.

Założyciele firm posiadają oni własne "mocne" serwisów.

Reklama w internecie mnóstwo źródeł tanich, bądź nawet darmowych linków. Słabe linki są jednak bezwartości Page Rank strony:

Diagonalizacja

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Pewne typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie oraz odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Diagonalizacja to rozkład macierzy polegający na rozbiciu macierzy kwadratowej $A \in M_k(K)$ na iloczyn macierzy $P, \Delta, P^{-1} \in M_k(K)$ :

$A=P \Delta P^{-1},\!$

gdzie

$\Delta\!$ jest macierzą diagonalną,
$P, P^{-1}\!$ są nazywane macierzami przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej $\Delta$ są równe kolejnym wartościom własnym macierzy $A$ , z kolei kolumny macierzy $P$ stanowią kolejne wektory własne macierzy $A$ .

Macierze kwadratowe, które da się przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana oraz rozkład wartości osobliwych to dwa zróżnicowane uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

Zastosowanie

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

$A^n = (P \Delta P^{-1})^n = \overbrace{ P \Delta P^{-1} P \Delta P^{-1} \dots P \Delta P^{-1} }^{n}$

$= P \Delta^n P^{-1} = P \operatorname{diag}(\lambda_1^n \dots \lambda_k^n) P^{-1}$ ,

gdzie:

$P^{-1} P = I_k\!$ , gdzie $I_k\!$ jest macierzą jednostkową wymiaru $k$ ,
$\lambda_1, \dots, \lambda_k$ są wartościami własnymi macierzy $A$ ,
$\Delta^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n \dots \lambda_k^n)$ jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

Własności

Macierze symetryczne oraz hermitowskie są stale diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie - tzn. możemy żądać, by macierz przejścia była unitarna.

Jeśli dla pewnej macierzy $A$ mamy rozkład diagonalny

$A=P \Delta P^{-1} \!$

wówczas:

macierze $A$ oraz $\Delta$ są podobne,
iloczyn wszystkich wartości własnych macierzy $A$ jest równy jej wyznacznikowi,
jeśli $A$ jest macierzą symetryczną to $P$ jest macierzą ortogonalną,
jeśli $A$ jest macierzą hermitowską to $P$ jest macierzą unitarną, a wartości własne są rzeczywiste,
jeśli $A$ jest macierzą dodatnio określoną, wartości własne są nieujemne.

Diagonalizacja Jacobiego

Załóżmy, że $(V, \xi)$ jest przestrzenią ortogonalną oraz $(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ jest bazą $V\;$ taką, że dla każdego $1\leqslant k\leqslant n-1$ zachodzi $g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)\neq 0$ (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła $(\beta_1, \ldots, \beta_n)$ przestrzeni $V\;$ , w której $\xi\;$ ma macierz:

$\left[\begin{array}{c c c c c c} \Delta_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{\Delta_2}{\Delta_1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\Delta_3}{\Delta_2} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n-2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\Delta_{n}}{\Delta_{n-1}} \\\end{array}\right]$ , gdzie $\Delta_k=g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)$ dla $k\in\{1,\ldots, n\}$