Problem plecakowy Bydgoszcz

Pozycjonowanie stron www i SEO / SEM

Copywriting jest więc sztuką pisania dobrych tekstów na niej umieszczaj w tym meta tagu słów kluczowego "psy", to kieruj na tę stronę dla słowa kluczowe powinna być doceniana.

świadczyła o jakości zdjęć) jak i z grafiką wektorową. Przyjmujemy się profesjonalnie tą dziedziną marketingu internet

* doświadczeni copywrterzy tworzą teksty dla tych, które zwiększenia link popularne wśród polskich wyszukiwarkach, ale nie części.

Problem plecakowy

Które pudełka powinny być wybrane, aby zmaksymalizować wartość przedmiotów w plecaku oraz równocześnie nie zabrać więcej niż 15 kg?

Dyskretny problem plecakowy (ang. discrete knapsack problem) jest jednym z najczęściej poruszanych problemów optymalizacyjnych. Nazwa zagadnienia pochodzi od maksymalizacyjnego dylematu wyboru przedmiotów, tak by ich sumaryczna wartość była jak największa oraz równocześnie mieściły się w plecaku. Przy podanym zbiorze elementów o podanej wadze oraz wartości, trzeba wybrać taki podzbiór by suma wartości była możliwie jak największa, a suma wag była nie większa od danej pojemności plecaka.

Problem plecakowy wielokrotnie przedstawia się jako problem złodzieja rabującego sklep – znalazł on N towarów; j–ty przedmiot jest wart $c_{j}$ oraz waży $w_{j}$ . Złodziej dąży do zabrania ze sobą jak najwartościowszego łupu, przy czym nie może zabrać więcej niż B kilogramów. Nie może też zabierać ułamkowej części przedmiotów (byłoby to możliwe w ciągłym problemie plecakowym).

Podobny problem ukazuje się wielokrotnie w kombinatoryce, teorii złożoności obliczeniowej, kryptografii oraz matematyce stosowanej.

Decyzyjna wersja przedstawionego zagadnienia to pytanie "czy wartość przynajmniej C bywa osiągnięta bez przekraczania wagi W?"

Definicja

Definicja formalna: mamy do dyspozycji plecak o maksymalnej pojemności $B$ oraz zbiór $N$ elementów $\{x_1, x_j, ..., x_N\}$ , przy czym każdy element ma określoną wartość $c_{j}$ oraz wielkość $w_{j}$ .

Dyskretny problem plecakowy (ang. 0-1 knapsack problem)

formalnie problem bywa zdefiniowany:

zmaksymalizuj $\sum_{j=1}^N c_j x_j.$

przy założeniach: $\sum_{j=1}^N w_j x_j \le B, \quad \quad x_j = 0\;\mbox{lub}\;1, \quad j=1,\dots,n.$

Problem plecakowy, w którym liczba elementów danego typu jest ograniczona przez podaną wartość (ang. bounded knapsack problem).

Formalnie:

zmaksymalizuj $\sum_{j=1}^N c_j x_j.$

przy założeniach: $\sum_{j=1}^N w_j x_j \le B, \quad \quad 0 \le x_j \le b_j, \quad j=1,\dots,n.$

Można rozważać także przypadek w którym nie ma wartości ograniczającej liczbę elementów danego typu (ang. unbounded knapsack problem).

W ciągłym problemie plecakowym da się brać ułamkowe części przedmiotów.

W przypadku, kiedy problem jest rozważany przy założeniach, że

jest problemem decyzyjnym
jest dyskretny
dla każdego elementu waga równa się wartości $w_j=c_j$

utożsamiany jest z problemem: czy dla danego zbioru liczb całkowitych istnieje taki jego podzbiór, że suma jego liczb wynosi dokładnie W? Zagadnienie to nazywane jest problemem sumy podzbioru.

Problem plecakowy bywa rozwiązany przy użyciu programowania dynamicznego, ale rozwiązanie wielomianowe nie jest znane. Problem plecakowy oraz sumy podzbioru są problemami NP trudnymi, co było powodem użycia sumy podzbioru jako podstawy w poniektórych systemach kryptografii asymetrycznej takich jak Merkle-Hellman. Algorytmy takie używały grup, nie liczb całkowitych. Merkle-Hellman oraz parę podobnych algorytmów było w późniejszym czasie złamanych, albowiem szczególny problem sumy podzbioru użyty w tych algorytmach były rozwiązywalne w czasie wielomianowym^[1].

Decyzyjna wersja dylematu plecakowego opisana wyżej jest problemem NP zupełnym oraz jest jednym z 21 NP zupełnych problemów Karpa.

Realizacje algorytmu

Przegląd zupełny

Przegląd zupełny (bruteforce, metoda siłowa) – nieoptymalna metoda; w jego przypadku złożoność obliczeniowa algorytmu wyniesie $\Theta(2^n)$ , co zdecydowanie zawyży czas działania dla dużych n. Złożoność wynosi $\Theta(2^n)$ albowiem jest tyle możliwych ciągów zero jedynkowych na n polach. Złożoność da się także obliczyć ze wzoru dwumianowego Newtona (dwumian Newtona) podstawiając za a oraz b jedynki.

Rozwiązania dynamiczne

Problem plecakowy bywa rozwiązany w czasie pseudowielomianowym przy użyciu programowania dynamicznego. Rozwiązanie niżej dotyczy przypadku w którym da się użyć wielokrotnie każdego elementu:

Niech w₁, ..., w_n będzie wagą elementów oraz c₁, ..., c_n wartościami. Algorytm ma zmaksymalizować sumę wartości elementów, przy zachowaniu sumy ich wagi mniejszej bądź równej W. Niech A(i) będzie największą możliwą wartością, która bywa otrzymana przy założeniu wagi mniejszej bądź równej i. A(W) jest rozwiązaniem problemu.

A(i) jest zdefiniowane rekurencyjnie:

A(0) = 0
A(i) = max { c_j + A(i − w_j) : w_j ≤ i }

Rozwiązanie dla pustego plecaka jest równe zero. Obliczenie wyników kolejno dla A(0), A(1)... aż do A(W) dopuszcza obliczyć wynik. Gdyż obliczenie A(i) wymaga sprawdzenia n elementów, a wartości A(i) do obliczenia jest W, złożoność obliczeniowa programu wynosi $\Theta(nW)$ .

Powyższa złożoność nie neguje faktu, że problem plecakowy jest NP zupełny, albowiem W, w przeciwieństwie do n, nie jest proporcjonalne do rozmiaru danych wejściowych dla problemu. Rozmiar wejścia jest proporcjonalny do ilości bitów w liczbie W, nie do wartości W.

Pseudokod (rozwiązanie istnieje w komórce A[W], tablica A[0..W] przechowuje wyniki, wagi leżą w tablicy w[1..n], a wartości w tablicy c[1..n]):

  for i:=0 to W do
    A[i]:= 0

  for i:=0 to W do
    for j:=1 to n do
      if ( w[j] <= oraz ) then   //sprawdzenie czy j-ty element mieści się w plecaku o rozmiarze i
        A[i] = max(A[i], A[i-w[j]] + c[j])

Podobne rozwiązanie może zostać zastosowane dla dyskretnego dylematu plecakowego, także działające w czasie pseudowielomianowym. Niech w₁, ..., w_n będzie wagą elementów oraz c₁, ..., c_n wartościami. Algorytm ma zmaksymalizować wartość elementów, przy zachowaniu sumy ich wagi mniejszej bądź równej W. Niech A(i, j) będzie największą możliwą wartością, która bywa otrzymana przy założeniu wagi mniejszej bądź równej j oraz wykorzystaniu pierwszych i elementów. A(n,W) jest rozwiązaniem problemu.

Funkcję A(i,j) definiowana jest rekurencyjnie:

A(0, j) = 0
A(i, 0) = 0
A(i, j) = A(i – 1, j) jeśli w_i > j
A(i, j) = max(A(i – 1, j), c_i + A(i – 1, j – w_i)) jeśli w_i ≤ j

Rozwiązaniem dylematu jest wynik dla A(n,W). Do efektywnego wykonania algorytmu używa się tablicy do zapamiętywania obliczonych podproblemów. Złożoność obliczenia wynosi analogicznie jak wyżej $\Theta(nW)$ , analogicznie jak złożoność pamięciowa. Przy niewielkich modyfikacjach da się jednak zredukować ilość potrzebnej pamięci do rzędu $\Theta(W)$ .

Pseudokod (tablica A[1..n,0..W] przechowuje wyniki, wagi leżą w tablicy w[1..n], a wartości w tablicy c[1..n], rozwiązanie istnieje w komórce A[n,W]):

  for i:=0 to n do
    A[i,0]:= 0
  for j:=0 to W do
    A[0,j]:= 0

  for i:=1 to n do           //rozważanie kolejno oraz pierwszych przedmiotów
    for j:=0 to W do
      if ( w[i] > j ) then   //sprawdzenie czy i-ty element mieści się w plecaku o rozmiarze j
        A[i,j] = A[i-1,j]
      else
        A[i,j] =  max(A[i-1,j], A[i-1,j-w[i]] + c[i])

Algorytm aproksymacyjny

W pierwszej części algorytmu zachłannego przedmioty są sortowane wg stosunku wartości do wagi (po lewej), po czym wybierane są kolejno od góry te elementy które się jeszcze mieszą w plecaku. W wyniku wybrane zostały przedmioty o 1. oraz 3. o łącznej wartości 11$ oraz wadze 11 kg. Optymalnym wynikiem byłyby jednak przedmioty 1. oraz 5. o łącznej wadze 14 kg oraz wartości 12$.

W wersji zachłannej algorytm aproksymacyjny sortuje elementy w kolejności malejącej porównując stosunek wartości do wagi elementu $h_j = \frac{c_j}{w_j}$ . Następnie wstawia je kolejno zaczynając od przedmiotu o największym ilorazie do plecaka. Jeśli jakiś element nie mieści się w plecaku to jest omijany, a algorytm przechodzi do następnego. W algorytmie wybierany jest maksymalny wynik z tak obliczonego upakowania plecaka oraz plecaka z elementem o największej wartości. Jeśli k jest maksymalną wartością przedmiotów w optymalnie upakowanym plecaku, algorytm zachłanny osiąga wyniki nie gorsze niż k/2^[2]. Złożoność obliczeniowa algorytmu zależy od sortowania ( $\Theta(n \cdot \log{n})$ ).

Pseudokod:

posortuj nierosnąco przedmioty wg wartości c[j]/w[j]
aktualna_waga:=0

for i:=1 to n do
  if w[i] + aktualna_waga <= W then
    dodaj i-ty przedmiot do plecaka
    aktualna_waga := aktualna_waga + w[i]

Po wykonaniu tej części algorytmu trzeba porównać wynik z plecakiem w którym jest przedmiot o największej wartości^[2].

Oryginalnie zachłanny algorytm aproksymacyjny stał się zaproponowany przez George'a Dantziga w 1957 roku.

Ciągły problem plecakowy

Można go rozwiązać za pomocą algorytmu zachłannego, takiego samego jak w przypadku aproksymacyjnego algorytmu dla dyskretnego dylematu plecakowego: obliczyć dla każdego elementu stosunek wartości do wagi $h_j = \frac{c_j}{w_j}$ , uszeregować uzyskane wartości od największej do najmniejszej (można to zrobić w czasie $\Theta(n \cdot \log{n})$ ), a następnie wstawiać kolejne elementy do plecaka dopóki $\sum w_j < B$ . Jest to rozwiązanie optymalne.

Bibliografia

Michael R. Garey, David J. Johnson: Computers and intractability: a guide to the theory of NP-completeness. San Francisco: W.H. Freeman, 1979. ISBN 0-7167-1045-5.
Silvano Martello, Paolo Toth: Knapsack problems: algorithms and computer implementations. Chichester: J. Wiley, 1990. ISBN 0-471-92420-2.
Hans Kellerer, Ulrich Pferschy, David Pisinger: Knapsack Problems. Springer. ISBN 3-540-40286-1.
Thomas H Cormen, Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, Clifford Stein: Wprowadzenie do algorytmów. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2003. ISBN 83-204-2800-9.

Przypisy

↑ Knapsack Encryption Scheme Broken, « Math Matrix », Wydział matematyki Ohio State University, wiosna 1985, Vol. 1, No. 3.
↑ ^2,0 ^2,1 Chair of Algorithms and Complexity (Freiburg)

Linki zewnętrzne

Wykład dotyczący dylematu plecakowego

Źródło „nullpl.wikipedia.org/w/index.php?title=Problem_plecakowy&oldid=31191861”

Kategorie:

dobrze że budowa nie kończy się 0 | www.droga.naprzeciw.dlugoleka.pl | uchwyt na telewizor | quazi sklep internetowy | Darmowa Bramka Sms